2023年北京市初中學業(yè)水平考試數學科目的考試已經結束，今年的數學卷重點考查了哪些內容？北京教育考試院和北京教科院基教研中心的專家們對數學試卷進行了權威解析。

(資料圖片)

數學試卷整體分析

思維引領? 面向全體? 導向教學

2023年北京市初中學業(yè)水平考試數學試題的命制，落實立德樹人根本任務，以《義務教育數學課程標準（2011年版）》為依據，滲透《義務教育數學課程標準（2022年版）》的新理念與新要求。堅持五育并舉，面向全體，以學定考，回歸課堂，回歸教材，體現(xiàn)數學學科的育人導向。以素養(yǎng)立意為統(tǒng)領，考查數學思維，凸顯數學學科本質，發(fā)揮數學學科的育人價值作用。落實“三個注重”和“四個考出來”的要求，突出對“四基”“四能”的考查，關注素養(yǎng)達成情況，注重內容的結構性，突出整體性，創(chuàng)設適切的真實情境，體現(xiàn)應用性、探究性和綜合性，助力寫好“雙減”后半篇文章。

一、將“五育”有機融入試卷素材，體現(xiàn)數學學科育人導向

試卷的命制選取與社會經濟發(fā)展有關的素材，將德育、美育、體育、勞動教育有機融入到試題中，引導學生德智體美勞全面發(fā)展，體現(xiàn)數學學科的育人導向。

第1題，以2023年全國冬小麥收獲情況為背景，考查科學記數法，讓學生直觀感受到國家發(fā)展，增強民族自信心。

第8題，以勾股定理證明過程的圖形為背景，探索圖形中的數量關系，讓學生了解核心概念與重要方法產生、發(fā)展和應用的過程，在探究中感悟數學的價值。

第16題，以木藝藝術品加工實踐活動為載體，通過對加工時間進行合理優(yōu)化，考查學生有條理合乎邏輯的思維過程，體現(xiàn)勞動中的數學。

第21題，以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化“對聯(lián)”為載體，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數學原理有機結合，考查利用數學原理“量與量之間的關系，總量等于各分量之和”建立數學模型，解決實際問題的能力，感受數學之美，厚植家國情懷。

第23題，以舞蹈隊選拔參賽為背景，結合實際問題中的數據，根據要求解決實際問題，考查對數據的數字特征意義的理解，體現(xiàn)體育活動中的數學。

第25題，以“節(jié)水”為背景，考查從數學的角度觀察、分析、思考、表達、解決、闡釋生活中遇到的問題，體現(xiàn)數學的應用價值。

二、面向全體，以學定考，回歸課堂，回歸教材

試卷的命制依據課程標準規(guī)定的“課程目標”與“課程內容”，考查主干知識、核心能力、基本思想方法；重視挖掘教材，結合教材中的內容、學科思維與思想方法進行再設計，引導教師用好教材，學生學好教材，進一步引導教學回歸教材。素材源于學生生活所見所聞及課堂所學，試題表述和設問與學生學習經驗一致，易于學生理解，利于不同水平的學生作答。

第23題，試題背景源自教材，立足教材所揭示的概念本質，設置與教材關聯(lián)的任務，體現(xiàn)命題與教材的深度關聯(lián)。

在考查基本知識的基礎上，深化、拓展對方差統(tǒng)計意義的考查，既考查直接利用方差的統(tǒng)計意義進行推斷，又考查利用方差的統(tǒng)計意義設計、分析、計算、篩選符合情境的數據組，通過對數據的對比與關聯(lián)，發(fā)掘數據蘊含的信息，從而做出統(tǒng)計推斷。

試題設計的重點不在于知識的單純記憶與簡單使用，而是以數據的數字特征為切入點，考查學生逐層分析與挖掘問題的邏輯結構，結合數據通過推理做出正確的決策與推斷的能力。讓學生感受到在實際生活中，引入統(tǒng)計量的必要性，凸顯統(tǒng)計量的統(tǒng)計意義，突出統(tǒng)計量的應用性。

三、整體設計，體現(xiàn)知識內容的結構化

試卷的命制從整體上把握學科內容的發(fā)展脈絡，學科本質特征，以及學科內容之間的密切關聯(lián)。試卷注重對學科知識的整合、深化與拓展，以數與代數、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三大知識板塊中的主干知識為載體，重點考查知識之間的內在聯(lián)系和整體結構。試卷中每道試題既有獨自的考查目標和功能，又能與其他試題配合，相關試題組合在一起，形成結構化功能，體現(xiàn)學科內容的整體關聯(lián)。引導教學重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現(xiàn)數學學科本質，對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。

數與代數板塊試題的命制從整體的視角進行設計，是從代數式及其運算到方程（組）和解方程（組）、不等式（組）和解不等式（組）再到函數逐步發(fā)展的，結構化呈現(xiàn)數與代數的內容，考查數與代數的思想方法，凸顯數與代數的本質特征。

如第17題考查數及數的運算；如第9、10、19題考查代數式及其運算；如第5、11、21題考查方程和解方程；如第18題考查不等式組和解不等式組。

函數是數與代數板塊的主干知識，是研究運動變化的數學模型，它來源于實際又服務于實際，從實際中抽象出函數的有關概念，又運用函數知識解決實際問題。函數的圖象與性質是函數的主體，從函數的數量特征和幾何特征（圖象）來刻畫每一類具體函數的性質，充分體現(xiàn)了數形結合是研究每一類函數的基本思路與方法。

如第12、22、26題考查反比例函數、一次函數和二次函數的圖象與性質，利用數形結合的思想方法解決問題的能力；如第25題通過對現(xiàn)實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，理解用函數表達變化關系的實際意義，借助平面直角坐標系中的描點，用圖象刻畫變量之間的函數關系，利用函數的圖象與性質解決實際問題。

圖形與幾何板塊試題的命制從演繹證明、運動變化、量化分析三個方面考查基本幾何圖形的性質，借助幾何直觀，運用推理，探索并發(fā)現(xiàn)在運動變化過程中圖形的不變量與不變關系，并建立圖形與坐標的聯(lián)系。

如第6、14、15、24題考查多邊形、平行線、圓的基本性質；如第20題考查特殊平行四邊形之間的內在聯(lián)系；如第27題考查在圖形運動變化的過程中發(fā)現(xiàn)圖形的性質，用演繹推理證明其結論成立的能力；如第28題考查從圖形與坐標關系的角度探究運動變化過程中圖形的不變量與不變關系的能力。

統(tǒng)計與概率板塊試題的命制重點突出統(tǒng)計全過程，在數據的收集、整理和描述的基礎上，考查了平均數、方差在數據分析時的作用，以及樣本估計總體的思想，著重考查了對數據的分析和利用數據中提供的信息解決問題的能力，以及獲取有效信息并進行統(tǒng)計推斷的意識。

如第13、23題，考查運用統(tǒng)計思想方法解決問題的能力。如第7題，考查定量描述隨機事件發(fā)生的可能性大小。

四、素養(yǎng)立意，思維引領，導向教學

試卷的命制以素養(yǎng)立意為導向，依據核心素養(yǎng)的內涵及具體表現(xiàn)，關注數學的本質，關注通性通法，綜合考查“四基”和“四能”。

對抽象能力的考查，重點體現(xiàn)在能夠從實際情境中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關系。

如第25題，考查從數學的角度觀察分析數據，從實際問題中抽象出第一次用水量、總用水量等變量，以及變量之間的關系，將實際問題轉化為數學問題，進一步將第一次用水量與總用水量之間的關系抽象為一種函數關系，并用函數知識進行表達，考查“會用數學的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數學的思維思考現(xiàn)實世界”。

該題從整體上建構函數研究的框架，按照“實例—概念—圖象—性質—應用”的順序從整體到局部展開研究，以綜合運用數學知識與思想方法解決實際問題為考查重點，讓學生經歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的全過程。引導教學組織有效的綜合與實踐活動，任務指向數學本質，在解決實際問題中融入數學知識與思想方法，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識與實踐能力。

對運算能力的考查，側重于選擇合理簡潔的運算策略進行運算。

如第19題，既可以通過代入消元求出結果，也可以運用因式分解、分式的基本性質將代數式化簡后，通過整體代入更簡潔地求得運算結果。引導教學在根據法則和運算律進行正確運算的基礎上，學會觀察、分析運算條件，選擇簡潔的運算途徑，通過運算促進數學推理能力的發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質。

對推理能力的考查，側重于依據推理的基本形式和規(guī)則，探索論證過程并有邏輯的表達。

如第4題，考查通過代數運算進行推理。如第20、24、27題，考查把握圖形特征，分析圖形性質，借助圖形分析問題，探索解決問題的思路，運用相關的幾何知識進行證明，并能正確進行表述的能力，考查學生“會用數學的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數學的語言表達現(xiàn)實世界”。引導教學在數與代數塊板、圖形與幾何板塊關注推理或證明的內容，培養(yǎng)學生形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質。

對應用意識與模型觀念的考查，側重于有意識地利用數學概念、原理和方法解決實際問題；根據具體問題，抽象出數學問題，將問題中的數量關系用方程（組）進行表示，求出結果。

如第16題，考查發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實情境中蘊含著的邏輯關系，利用所給數據設計符合實際要求的最優(yōu)解決方案的能力；如第21題，考查理解問題情境，將實際問題轉化為數學問題，建立方程（組）模型，通過對方程（組）的求解，解決實際問題的能力。引導教學挖掘與學生生活密切相關的問題，建立數學模型并運用數學知識和方法解決問題，培養(yǎng)學生模型觀念與應用意識。

總之，數學學科鞏固以往考試內容改革成果，積極發(fā)揮試題育人功能，保持了試卷的基礎性、綜合性、實踐性的特色。以素養(yǎng)為導向，堅持創(chuàng)設符合學生特點的情境，考查主干知識，考查核心能力，考查基本思想，考查發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。同時，數學學科緊密聯(lián)系教材，充分挖掘教材中適切的素材，引導教學回歸課堂，引導教師發(fā)揮課堂的主渠道作用。

數學試卷試題分析

2023年北京市初中學業(yè)水平考試數學試卷（以下簡稱“北京卷”）以《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）為依據，既實現(xiàn)水平性考查功能，又兼顧了選拔性功能，符合“兩考合一”的要求。北京卷在試卷結構、題型分布、分數設置等方面保持穩(wěn)定，緊密聯(lián)系北京市初中數學教學實際，堅持素養(yǎng)立意，突出學科本質，凸顯育人導向，落實“雙減”的相關要求。

一、依據《課程標準》，堅持以學定考

北京卷落實《課程標準》要求，堅持以學定考，依據《課程標準》規(guī)定的“內容標準”科學命制試題。題目體現(xiàn)《課程標準》所規(guī)定的課程目標、內容標準。問題的設置有利于考查學生對數學概念、性質、關系、規(guī)律的理解、表達和應用。

例如1，4，5，9，10，11，12，21，22，26等題，主要考查“數與代數”知識領域的相關內容，考查學生是否掌握相關的運算求解方法，能否從生活情境、數學情境中抽象概括出數與式、方程與不等式、函數的概念和規(guī)則，并且解釋運算結果。要求學生具備一定的運算能力、推理能力和抽象能力。

例如2，3，6，8，14，15，20，24，27等題，主要考查“圖形與幾何”知識領域的相關內容，考查學生能否理解圖形運動的變化特征，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的不變關系，能否運用幾何圖形的基本性質進行推理論證。要求學生具備一定的幾何直觀、空間觀念和推理能力。

例如7，13，23題，主要考查“統(tǒng)計與概率”知識領域的相關內容，考查學生是否理解頻數、頻率、中位數、眾數等統(tǒng)計量以及概率的意義，能否進行簡單的數據分析。要求學生具備一定的數據觀念。

例如16，25等題，結合學生的認知水平和生活經驗，設計合理的情境，主要考查“綜合與實踐”領域的內容?？疾閷W生能否從實際情境中發(fā)現(xiàn)問題并提出（或轉化為）數學問題，綜合運用多個領域的知識，提出設計思路，選擇合適的方法，制訂解決方案。要求學生具備一定的應用意識和模型觀念。

二、落實“四基”“四能”，堅持素養(yǎng)立意

北京卷緊扣《課程標準》和教材，立足對基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的考查?？疾橹鞲芍R，各知識領域的分值設計與《課程標準》的要求相符，大部分題目的創(chuàng)設與教材聯(lián)系密切。梯度設計細致合理，符合初中學生的認知規(guī)律與水平，體現(xiàn)了初中學業(yè)水平考試的要求。與2022年北京卷相比，在題型和設問上保持了穩(wěn)定。

例如1，2，5，6，7，9等題考查基礎知識；例如3，10，11，17,18等題考查基本技能；例如21等題考查基本思想；例如23，25等題考查基本活動經驗。

北京卷在落實“四基”考查的同時，還關注考查發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。注重對數學學科核心內容、學科本質的考查，堅持素養(yǎng)立意。

例如23題，素材來源于學生生活實際，在數據的收集、整理和描述的基礎上，考查了統(tǒng)計相關概念的理解與應用，著重考查了對數據的分析和利用數據中提供的信息解決問題的能力，體現(xiàn)了學生獲取有效信息并進行統(tǒng)計推斷的意識。

例如25題，以“清洗某種含污染品的節(jié)水策略”為背景，考查學生運用所給的數據，抽象出數學問題，構建函數模型，分析問題和解決問題的能力。

三、注重思維過程，突出學科本質

北京卷立足學科主干知識，多角度、多層次地設計問題情境，考查學生探究與解決問題的能力，注重思維過程，突出學科本質。

例如26題以二次函數的相關知識為載體，考查學生綜合運用二次函數圖象的對稱性、函數的增減性等知識以及數形結合的思想方法解決問題的能力，重點考查了代數學習中的主干知識、學習方法和學習經驗。

例如27題主要考查識別、分析問題情境中的基本圖形，學生通過畫圖、觀察和分析圖形運動變化的全過程，猜想、探究其中的不變關系，思考并推理論證自己的猜想。本題在命題結構上有所創(chuàng)新，考查了直觀想象、邏輯推理等數學學科核心素養(yǎng)。

例如28題作為北京卷的特色試題，堅持了對概念學習的過程性考查，以圖形與坐標為背景，運用圓外一點與圓的一條弦的兩個端點分別連接成的兩條直線的特征定義了“關聯(lián)點”，考查學生經歷研究新知識的一般過程，從靜態(tài)到動態(tài)，以實踐操作、探索發(fā)現(xiàn)為活動主線，繼而研究運動變化中的不變關系，考查學生對知識的理解能力、遷移能力以及思維的嚴謹性。

四、注重情境創(chuàng)設，凸顯育人導向

北京卷歷來注重真實情境的創(chuàng)設，從生活情境、科學情境和數學情境等方面入手，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材，搭建起數學知識與問題之間的橋梁，引導學生在問題解決的過程中經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等過程，體會數學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，增強認識真實世界、解決真實問題的能力，同時感受數學在現(xiàn)實世界的廣泛應用，體會數學的價值。

例如16題以學生參加木藝藝術品加工實踐活動為載體，設計工序最優(yōu)化的問題，考查學生邏輯推理的能力，體現(xiàn)勞動中的數學。

例如21題以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的對聯(lián)為載體，設計對聯(lián)裝裱尺寸的問題，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化與數學知識有機結合，考查建立數學模型，解決實際問題的能力。

例如25題以“清洗某種含污染品的節(jié)水策略”為背景，考查從數學的角度觀察、分析、思考、表達、解決、闡釋生活中遇到的問題，感受數學的應用價值。

2023年北京卷落實立德樹人根本任務，全面體現(xiàn)《課程標準》的要求，依據《課程標準》所規(guī)定的課程目標和內容標準命題，知識覆蓋比較全面，各領域考查內容所占比例與其在《課程標準》中所占比例大體一致，難易程度大體平衡，考查重點突出。試題關注數學本質，關注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng)，題目設置注重創(chuàng)設真實情境，提出有意義的問題，有利于考查對數學概念、性質、關系、規(guī)律的理解、表達和應用，注重考查學生的思維過程，對課堂教學起到了良好的導向作用。

點評專家

北辰

（北京教育考試院）

俞京寧

高級教師

（北京教育學院豐臺分院）

陳俊

正高級教師

（北京市東城區(qū)教育科學研究院）

刁衛(wèi)東

高級教師

（北京市西城區(qū)教育研修學院）

侯海全

高級教師

（北京教育科學研究院）

黃煒

高級教師

（北京教育科學研究院）

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